تعریف در ریاضیات

چیست این سقف بلند ساده‌ی بسیار نقش
زین معما هیچ دانا در جهان آگاه نیست .
(حافظ)

بسیاری از دانش‌آموزان و دانشجویان متوجه اهمیت نقش تعریف در ریاضی نیستند. این اهمیت تا حدودی از نیاز ریاضیدان‌ها به ارتباط با یکدیگر در رابطه با کارشان، ناشی می‌شود. دو شخص که می‌خواهند درباره‌ی چیزی صحبت کنند، اختلاف‌نظر آن‌ها در مورد اصطلاح معینی، می‌تواند به سوءتفاهم، دلخوری، برخورد و ... منجر شود. یک قصاب را تصور کنید که با مشتری لجبازی مواجه شده باشد که اصرار دارد آن چه را که همه راسته می‌نامند بخرد و آن را فیله بنامد. متاسفانه به نظر نمی‌رسد که، حتی در علم دقیقی مثل ریاضیات، استاندارد کردن کامل واژه‌ها، به‌صورت ایده‌آل میسر باشد. برای مثال، در ریاضیات وقتی صحبت از تابع می‌شود، ریاضیدان‌های مختلف برای واژه «دامنه» دو معنی متفاوت قایل می‌شوند. در نتیجه، امروزه تلاش می‌شود از به‌کار بردن این واژه‌ی ابهام‌آمیز اجتناب شود و تصویر یا حوزه‌ی مقادیر به‌جای آن به‌کار رود. در ریاضیات برای جلوگیری از ابهام باید تلاش شود.

یکی از عناصر بسیار مهم خلاقیت ریاضی، توانایی در تنظیم تعریف‌های مفید است، تعریف‌هایی که ما را به نتیجه‌های جالبی هدایت می‌کند. در امتحانات شفاهی معمولا از دانش‌آموزان و دانش‌پژوهان خواسته می‌شود که چندین تعریف را بیان کنند (به‌خصوص در سطح‌های بالا و بعد از لیسانس). اگر آن‌ها نتوانند معنی اصطلاحی را بیان کنند، احتمالا نخواهند توانست به پرسش‌های مربوط به آن مفهوم هم پاسخ معقولی بدهند.

هر تعریف به‌صورت یک گزاره‌ی «اگر و فقط، اگر» فهمیده می‌شود، اگر چه متداول است که "فقط اگر"  آن را پنهان سازند. از این رو می‌توان تعریف کرد که «یک مثلث متساوی‌الساقین است، اگر دو ضلع با طول مساوی داشته باشد.» و واقعا به این معنی است که مثلث متساوی‌الساقین است اگر و فقط اگر دو ضلع با طول مساوی داشته باشد.

به این ترتیب نباید احساس کنید که شما مجبورید یک تعریف را کلمه به کلمه حفظ کنید. مسئله اساسی، درک مفهوم است تا بتوانید دقیقا همان مفهوم را، با کلمات خودتان بیان کنید. بنابراین تعریف «یک مثلث متساوی‌الساقین مثلثی است که دو ضلع متساوی داشته باشد» کاملا صحیح است و تعریف «یک مثلث متساوی الساقین مثلثی است که دو زاویه‌ی متساوی داشته باشد» هم صحیح است. چون در تمام این تعریف‌ها دقیقا یک نوع مثلث است که متساوی‌الساقین نامیده می‌شود (اصطلاحا می‌گویند دو تعریف معادلند به این مفهوم که از یکی دیگری نتیجه می‌شود).

توجه به این مطلب نیز خیلی مهم است، زمانی که مفهومی تازه تعریف شده باشد و از شما خواسته شود مطلبی را درباره‌ی آن مفهوم ثابت کنید. در چنین حالتی، شما باید آن تعریف را به‌عنوان بخش اصلی اثبات به‌کار گیرند. در واقع، پس از آن که مفهومی تعریف شد، این تعریف تنها اطلاعی است که شخص درباره‌ی آن مفهوم در اختیار دارد.

اهمیت بنیادی تعریف‌ها در ریاضیات یک ضعف ساختاری نیز هست، به این دلیل که هر مفهومی را نمی‌توان تعریف کرد! مثلا فرض کنیم شخصی اصطلاح مجموعه را به‌صورت «یک مجموعه، گردایه‌ای مشخص از شی‌ها است» تعریف کند. طبیعتا سوال می‌شود که منظور از گردایه چیست؟ شاید آن‌گاه بگویید «یک گردایه انبوهی از چیزها است» سپس بپرسند انبوه چیست؟

زبان ما متناهی است، بنابراین پس از مدتی کلمه‌های جدید تمام می‌شوند و مجبور می‌شویم یکی از کلمه‌هایی را که قبلا مورد سوال قرار گرفته است تکرار کنیم. تعریف‌ها آن‌گاه دوری می‌شود و مسلما بدون ارزش خواهد بود. ریاضی‌دان‌ها تشخیص می‌دهند که باید چند مفهوم اولیه تعریف نشده وجود داشته باشد. در حال حاضر موافقت کرده‌اند که مجموعه چنین مفهوم اولیه‌ای باشد. ما نیز در این مقاله مجموعه را تعریف نمی‌کنیم، اما صرفا امیدواریم که وقتی با عبارت‌هایی از قبیل «مجموعه‌ی تمام اعداد حقیقی» یا مجموعه‌ی اعضای سازمان ملل متحد» روبه‌رو می‌شوید، با ایده‌های متفاوت مردم از آن چه که مورد نظر است به‌قدر کافی شباهت داشته باشند که ارتباط را میسر سازند (بد نسبت تعریفی از ارتباط نیز در ذهن خود داشته باشید).